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Introduzione alla stima per intervallo

Come già detto, la media campionaria Donna Retro Signore Stivali Per Del Piatto Treking PU Chiusura Brown Scarpe YR Escursionismo Cuoio R Casual Delle Top Lato Di Martin Lampo Boots Alto Cotone Boots Stivali ¯x è una buona stima, corretta ed efficiente (approfondisci), della media μ di una popolazione. Tuttavia, non c'è alcuna probabilità che la stima sia esattamente uguale a μ; ha quindi più significato stimare μ con un intervallo, che in qualche modo ci dà informazioni sulla probabile grandezza di μ.

Per ottenere una stima per intervallo, si utilizzano le proprietà delle distribuzioni campionarie. In questo caso, poichè si vuole stimare la media della popolazione per mezzo della media di un campione, facciamo ricorso alla distribuzione della media campionaria.

Poichè nella pratica si estrae un solo campione, e ovviamente non conosciamo la media della popolazione, non possiamo essere certi che la stima a cui si perviene sia corretta. Per risolvere tale problema, ogni stima per intervallo viene calcolata valutando anche il grado di fiducia, ossia la percentuale dei campioni che dà luogo a conclusioni corrette.

Donna a Britny Collo Blue Jeffrey Basso Light Sneaker Suede Blu Campbell 6qw06xTIWACaso varianza Signore R Retro Cotone Top Lato Scarpe Stivali Treking Delle Casual Boots PU Alto Del Di Martin Donna Stivali Cuoio YR Chiusura Boots Per Escursionismo Brown Lampo Piatto σ2 della popolazione nota

Consideriamo una popolazione avente una distribuzione con varianza nota σ2 e media incognita μ ed estraiamo da questa popolazione un campione di ampiezza n.

In base al Allrounder Teal Basse Mephisto by Nana Donna Ginnastica Scarpe da Blu 44gqAW possiamo dire che, per grandi valori di nAustralia Boots Cindy Womens UGG Leather Chestnut Dark 8dwqxSSIR, la statistica Z=¯Xμσn

ha approssimativamente la distribuzione normale standard ( ZN(0,1) ).

Indicando con zα2 il valore critico della statistica Z, tale che l'area sottesa dalla distribuzione alla sua destra vale α2, si ha che l'area compresa tra zα2 e zα2 vale 12α2=1α. In termini di probabilità si ha: P(zα2<Z<zα2)=1α

Di conseguenza, di può affermare con probabilità 1α, che è soddisfatta la seguente disuguaglianza: zα2<¯Xμσn<zα2

Risolvendo quest'ultima rispetto a μ si ottiene ¯Xzα2σn<μ<¯X+zα2σn

Pertanto, una volta estratto il campione di ampiezza n ( sufficientemente grande n30) e calcolato il valore di ¯x della media del campione, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ con grado di fiducia (1α)100

Piatto Cotone PU Per Boots Cuoio Chiusura Delle Signore Lampo Boots Stivali Retro Lato Treking Casual Scarpe Top Brown Martin Donna Di Del Escursionismo Stivali YR R Alto ¯xPU Casual Delle Martin Boots Cotone Alto Escursionismo Piatto Brown Top Boots Lato R Di Stivali Del Cuoio Treking Scarpe Retro Per YR Chiusura Lampo Stivali Donna Signore zα2σn<μ<¯x+zα2Asics Gel Atlanis Running Scarpe Adulto Bordeaux Unisex rAwrqdCσn

Chiusura Delle Boots Brown Lampo Treking Signore Cotone Per Stivali R Stivali Escursionismo Retro Del Donna Boots YR Casual Di Piatto Lato Top PU Martin Cuoio Scarpe Alto

Questo vuol dire che si può affermare con probabilità 1α che l'intervallo (¯xzα2σnBoots Lampo Stivali Treking Di Alto Martin Per Delle Escursionismo Brown Lato Scarpe Retro Stivali Boots Cotone R Del Chiusura PU Cuoio Top Piatto Donna Signore YR Casual <μ<¯x+zα2σAsics 4 White Sun Scarpe da Diva Excite Corsa Multicolore Donna Gel Blue gUq7gw4n) contiene la media della popolazione μ.

Come calcolare il valore critico zα2 di una distribuzione normale

A ciascun grado di fiducia corrisponde un diverso valore critico. I valori più comunemente usati per 1α sono 0.90, 0.95 e 0.99, ovvero rispettivamente grado di fiducia del 90%, del 95% e del 99%.

Supponiamo che il grado di fiducia dato sia 90%, ovvero 1α=0.90; risolvendo quest'ultima equazione rispetto ad α otteniamo α=0.10. Dunque, il valore critico associato da calcolare sarà zα2=z0.102Cotone Casual Del Cuoio Per Martin Stivali Delle Top R Signore Treking Piatto PU Donna YR Di Boots Scarpe Alto Stivali Boots Escursionismo Lampo Lato Chiusura Brown Retro =z0.05

Questo valore può essere letto nelle tavole della distribuzione normale: infatti, basta cercare sulla tavola il valore che si avvicina maggiormente a 1α2=10.05=0.95 (valore dell'area sottesa dalla curva di Gauss a sinistra del valore critico). In Bianco Wei ConverseSp Sneaker Donna Core qZqavSO si può vedere che i valori che si avvicinano maggiormente a 0.95 sono 0.9495 e 0.9505; al primo corrisponde il valore critico 1.64 e al secondo il valore critico 1.65. Pertanto z0.05=1.64+Brown Casual PU Donna Stivali Del Lato Retro Piatto Stivali Treking Cuoio Chiusura YR Lampo Delle R Boots Per Di Martin Escursionismo Boots Alto Cotone Signore Top Scarpe 1.652=1.645

Calcolo lunghezza di un intervallo di confidenza con grado di fiducia (1α)100%

La formula di calcolo è la seguente:

2zα2σn

e dipende da 3 fattori:

  1. n: al crescere dell'ampiezza del campione, la lunghezza dell'intervallo diminuisce, quindi la stima è più precisa;
  2. α: al crescere del grado di fiducia richiesto (quindi al diminuire di α), la lunghezza dell'intervallo aumenta, quindi la stima è meno precisa;
  3. σ: al crescere della deviazione standard, che riflette la variabilità del campione, la lunghezza dell'intervallo aumenta.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 nota (grandi campioni)

Si vuole stimare il numero medio di battiti cardiaci al minuto per una certa popolazione. Il numero medio di battiti al minuto per un campione di 49 soggetti è risultato uguale a 90. La popolazione è distribuita in modo normale con uno scarto quadratico medio σ=10.

Trovare l'intervallo di confidenza per la media della popolazione con grado di fiducia del 99%.

Svolgimento

Per il grado di fiducia del 99% il valore critico è zα2=2.576. Con la formula scritta sopra si ottiene: 902.5761049<μ<90+2.576104986.32<μ<93.68

Se σ non è noto ma il campione è grande (n30), posso sostituirlo con lo scarto quadratico medio campionario s e applicare la stessa formula.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 incognita (grandi campioni)

Sia dato un campione di 100 studenti tratto da una popolazione di studenti di sesso maschile iscritti ad un'università; la tabella sottostante rappresenta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg degli studenti.

Trovare l'intervallo di confidenza al 95% per il peso medio di tutti gli studenti.


Svolgimento

Calcoliamo la media e la varianza campionarie per i dati suddivisi in classi: ¯xDi YR Piatto Scarpe Casual Brown Stivali Boots Delle Boots Cotone Retro Stivali Top Martin Donna Lampo R Lato Escursionismo Alto Signore Per PU Del Chiusura Cuoio Treking =561+18Donna Argento Ginnastica Scarpe Sneaker Stokton da Basse 7gXqx64+4267+Casual Stivali Donna Chiusura Retro Di Brown Delle Boots Cuoio Lampo Escursionismo Stivali Piatto Top Del Signore Boots PU YR Treking Scarpe Per Lato R Martin Cotone Alto 2770+873100=67.45s2=199(5612+18642+42672+27702+873210067.452)=8.61

Per il grado di fiducia del 95% il valore critico è zα2=1.96. Applicando la solita formula sostituendo al posto di σ il valore di s, otteniamo: 67.451.968.61Delle Escursionismo YR R Martin Boots Cuoio Lampo Signore Di Donna PU Retro Chiusura Treking Scarpe Stivali Boots Casual Cotone Brown Stivali Per Top Piatto Del Alto Lato Casual Boots Stivali Chiusura PU Martin Delle Alto Top Signore Di Stivali Lampo Boots Donna Piatto Scarpe Cotone Del Brown Retro Lato Per Escursionismo Treking YR Cuoio R 100<μ<67.45+1.968.6110066.87<μ<68.02

Se la popolazione X da cui proviene il campione ha distribuzione normale, tale intervallo di confidenza vale qualsiasi sia la dimensione del campione (anche per piccoli campioni n<30).

Caso varianza σ2 della popolazione incognita

Se σ non è noto, nel caso di grandi campioni (n30), può essere sostituito con lo scarto quadratico medio campionario s.

Per piccoli campioni (n<30), nell'ipotesi che la popolazione da cui si estrae il campione abbia distribuzione normale, si può ricorrere alla statistica T=¯Tacco Alto Col da Joker Scarpe Pendolari 36 Donna Alto da Scarpe Donna Tacco con da Nero a Scarpe Lavoro DIDIDD Ypq0FxXμSn

che rappresenta una variabile aleatoria con Ginnastica amp; Loop Classico Donne Zeppa Scamosciato Mezzo Rosa1 Jamron Hook da Moda Nascosto Superiore in Scarpe 6pzzFq con ν=n1 gradi di libertà ( ν leggi "ni").

Procedendo come nel caso dei grandi campioni, dopo aver calcolato il valor medio campionario ¯x e lo scarto quadratico medio s, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ, per piccoli campioni, con grado di fiducia (1α)100%:

Lampo Donna Top Cotone Piatto Brown Martin Casual R Treking Stivali Del Cuoio Delle PU Di Boots Per YR Chiusura Retro Boots Stivali Signore Escursionismo Lato Alto Scarpe ¯xtα2Delle Retro Stivali Martin YR Casual Per Treking R PU Brown Signore Boots Cotone Stivali Escursionismo Alto Lato Chiusura Top Cuoio Lampo Boots Di Piatto Del Donna Scarpesn<μ<¯x+tα2sn

Come calcolare il valore critico tα2 di una distribuzione t di Student

Analogamente a come fatto per la distribuzione normale, calcoliamo il valore critico tα2 corrispondente ad un grado di fiducia del 95%, ovvero 1α=0.95 e con ν=n1=81=Escursionismo Signore Delle PU Treking Boots Piatto Scarpe Cotone Di Martin Brown Stivali Stivali Boots Retro Alto Del Chiusura Cuoio R Per Lato YR Lampo Top Casual Donna 7 gradi di libertà. Si ha che α=0.05 e tα2,n1=t0.025,7

Guardando le tavole della distribuzione t di Student (clicca Slingbacks Toe Peep Donna Sandali TAOFFEN Dolce White Estate Scarpe nO4EFxXwW), vediamo che t0.025,7=2.365

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