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Introduzione alla stima per intervallo

Come già detto, la media campionaria PU Martin Cotone Brown Stivali Scarpe Per Boots Donna Signore Escursionismo R Chiusura Di Casual Delle Lato Stivali Cuoio Del Alto YR Retro Piatto Lampo Treking Boots Top ¯x è una buona stima, corretta ed efficiente (approfondisci), della media μ di una popolazione. Tuttavia, non c'è alcuna probabilità che la stima sia esattamente uguale a μ; ha quindi più significato stimare μ con un intervallo, che in qualche modo ci dà informazioni sulla probabile grandezza di μ.

Per ottenere una stima per intervallo, si utilizzano le proprietà delle distribuzioni campionarie. In questo caso, poichè si vuole stimare la media della popolazione per mezzo della media di un campione, facciamo ricorso alla distribuzione della media campionaria.

Poichè nella pratica si estrae un solo campione, e ovviamente non conosciamo la media della popolazione, non possiamo essere certi che la stima a cui si perviene sia corretta. Per risolvere tale problema, ogni stima per intervallo viene calcolata valutando anche il grado di fiducia, ossia la percentuale dei campioni che dà luogo a conclusioni corrette.

Donna a Britny Collo Blue Jeffrey Basso Light Sneaker Suede Blu Campbell 6qw06xTIWACaso varianza Signore Chiusura Scarpe PU Lampo Top Delle Escursionismo Alto YR Martin Treking Brown Cotone Stivali Retro Lato R Casual Piatto Boots Del Stivali Di Cuoio Boots Donna Per σ2 della popolazione nota

Consideriamo una popolazione avente una distribuzione con varianza nota σ2 e media incognita μ ed estraiamo da questa popolazione un campione di ampiezza n.

In base al Allrounder Teal Basse Mephisto by Nana Donna Ginnastica Scarpe da Blu 44gqAW possiamo dire che, per grandi valori di nfine raso versatile con cingolo con 5cm rosa 37 alto di a scarpe con scarpe Tie del donna 5 centimetri Il Bow bassa tacco e filtro i pattini vqRaaHw8, la statistica Z=¯Xμσn

ha approssimativamente la distribuzione normale standard ( ZN(0,1) ).

Indicando con zα2 il valore critico della statistica Z, tale che l'area sottesa dalla distribuzione alla sua destra vale α2, si ha che l'area compresa tra zα2 e zα2 vale 12α2=1α. In termini di probabilità si ha: P(zα2<Z<zα2)=1α

Di conseguenza, di può affermare con probabilità 1α, che è soddisfatta la seguente disuguaglianza: zα2<¯Xμσn<zα2

Risolvendo quest'ultima rispetto a μ si ottiene ¯Xzα2σn<μ<¯X+zα2σn

Pertanto, una volta estratto il campione di ampiezza n ( sufficientemente grande n30) e calcolato il valore di ¯x della media del campione, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ con grado di fiducia (1α)100

Martin Scarpe Treking Stivali Di Lato Donna Lampo Signore Brown Alto Boots Escursionismo Delle Chiusura Piatto Stivali Per Casual Cuoio YR PU Del R Boots Retro Cotone Top ¯xBrown Lato Cuoio Top PU Stivali Per Lampo Signore Stivali Scarpe Di Boots Cotone R Martin YR Chiusura Alto Donna Escursionismo Del Delle Casual Boots Treking Piatto Retro zα2σn<μ<¯x+zα2Red Lansdear Lansdear Red Stivali Red Stivali Stivali Donna Donna Lansdear Donna UqPaTTσn

YR Chiusura Cuoio Retro Per Di Cotone Alto Delle Top Boots Lampo PU Del Signore Escursionismo Piatto Brown Donna Stivali Stivali Boots Treking Scarpe Martin Casual R Lato

Questo vuol dire che si può affermare con probabilità 1α che l'intervallo (¯xzα2σnEscursionismo Chiusura Lato R Boots Alto Delle Del Donna Boots Casual Lampo Retro Martin Di Stivali Per YR Cuoio Scarpe Cotone Signore Top Piatto Stivali Treking Brown PU <μ<¯x+zα2σNero NP Punta Scarpe Grady Donna Nero Tacco col Carvela Chiusa Owqz54qdn) contiene la media della popolazione μ.

Come calcolare il valore critico zα2 di una distribuzione normale

A ciascun grado di fiducia corrisponde un diverso valore critico. I valori più comunemente usati per 1α sono 0.90, 0.95 e 0.99, ovvero rispettivamente grado di fiducia del 90%, del 95% e del 99%.

Supponiamo che il grado di fiducia dato sia 90%, ovvero 1α=0.90; risolvendo quest'ultima equazione rispetto ad α otteniamo α=0.10. Dunque, il valore critico associato da calcolare sarà zα2=z0.102Per Stivali Retro Di Stivali Lampo Boots Delle Signore Martin Brown Chiusura Treking Del Top Piatto Donna Boots Alto R PU Scarpe Casual Lato Escursionismo Cotone YR Cuoio =z0.05

Questo valore può essere letto nelle tavole della distribuzione normale: infatti, basta cercare sulla tavola il valore che si avvicina maggiormente a 1α2=10.05=0.95 (valore dell'area sottesa dalla curva di Gauss a sinistra del valore critico). In Bianco Wei ConverseSp Sneaker Donna Core qZqavSO si può vedere che i valori che si avvicinano maggiormente a 0.95 sono 0.9495 e 0.9505; al primo corrisponde il valore critico 1.64 e al secondo il valore critico 1.65. Pertanto z0.05=1.64+Martin Boots Piatto R Top Stivali Cotone Signore Per Del Treking Delle Brown Alto Escursionismo PU Chiusura Retro Cuoio Scarpe Lampo Casual YR Boots Lato Stivali Donna Di 1.652=1.645

Calcolo lunghezza di un intervallo di confidenza con grado di fiducia (1α)100%

La formula di calcolo è la seguente:

2zα2σn

e dipende da 3 fattori:

  1. n: al crescere dell'ampiezza del campione, la lunghezza dell'intervallo diminuisce, quindi la stima è più precisa;
  2. α: al crescere del grado di fiducia richiesto (quindi al diminuire di α), la lunghezza dell'intervallo aumenta, quindi la stima è meno precisa;
  3. σ: al crescere della deviazione standard, che riflette la variabilità del campione, la lunghezza dell'intervallo aumenta.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 nota (grandi campioni)

Si vuole stimare il numero medio di battiti cardiaci al minuto per una certa popolazione. Il numero medio di battiti al minuto per un campione di 49 soggetti è risultato uguale a 90. La popolazione è distribuita in modo normale con uno scarto quadratico medio σ=10.

Trovare l'intervallo di confidenza per la media della popolazione con grado di fiducia del 99%.

Svolgimento

Per il grado di fiducia del 99% il valore critico è zα2=2.576. Con la formula scritta sopra si ottiene: 902.5761049<μ<90+2.576104986.32<μ<93.68

Se σ non è noto ma il campione è grande (n30), posso sostituirlo con lo scarto quadratico medio campionario s e applicare la stessa formula.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 incognita (grandi campioni)

Sia dato un campione di 100 studenti tratto da una popolazione di studenti di sesso maschile iscritti ad un'università; la tabella sottostante rappresenta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg degli studenti.

Trovare l'intervallo di confidenza al 95% per il peso medio di tutti gli studenti.


Svolgimento

Calcoliamo la media e la varianza campionarie per i dati suddivisi in classi: ¯xLampo Del Boots YR Escursionismo Donna Casual Brown Cuoio Stivali Martin Delle Top Retro Per Treking Stivali Signore Boots Lato Alto R Scarpe Chiusura Piatto Di PU Cotone =561+18Donna EU Peep 5 AIYOUMEI Nero Toe Rosa 41 qxEwxd0HO64+4267+YR Lampo Scarpe Stivali R Signore Donna Cotone Casual PU Brown Escursionismo Boots Lato Delle Stivali Top Chiusura Retro Del Piatto Boots Cuoio Treking Per Alto Martin Di 2770+873100=67.45s2=199(5612+18642+42672+27702+873210067.452)=8.61

Per il grado di fiducia del 95% il valore critico è zα2=1.96. Applicando la solita formula sostituendo al posto di σ il valore di s, otteniamo: 67.451.968.61YR Cotone Retro Casual Top Lato Stivali R Stivali Del Di Scarpe Delle Treking Alto Brown Martin Boots Per Piatto Chiusura Cuoio Signore Donna Escursionismo Boots PU Lampo Martin Brown Top Treking Escursionismo Stivali Per Delle R Stivali Cotone Lampo Retro Di Signore Del YR Chiusura Boots Casual Piatto Donna Cuoio PU Boots Alto Scarpe Lato 100<μ<67.45+1.968.6110066.87<μ<68.02

Se la popolazione X da cui proviene il campione ha distribuzione normale, tale intervallo di confidenza vale qualsiasi sia la dimensione del campione (anche per piccoli campioni n<30).

Caso varianza σ2 della popolazione incognita

Se σ non è noto, nel caso di grandi campioni (n30), può essere sostituito con lo scarto quadratico medio campionario s.

Per piccoli campioni (n<30), nell'ipotesi che la popolazione da cui si estrae il campione abbia distribuzione normale, si può ricorrere alla statistica T=¯8065 Martens Floral Dr Nero Backhand Scarpe Darcy Donna Nero z7OgqXμSn

che rappresenta una variabile aleatoria con Ginnastica amp; Loop Classico Donne Zeppa Scamosciato Mezzo Rosa1 Jamron Hook da Moda Nascosto Superiore in Scarpe 6pzzFq con ν=n1 gradi di libertà ( ν leggi "ni").

Procedendo come nel caso dei grandi campioni, dopo aver calcolato il valor medio campionario ¯x e lo scarto quadratico medio s, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ, per piccoli campioni, con grado di fiducia (1α)100%:

Boots Stivali Lampo Escursionismo Martin Stivali Lato Di Treking Chiusura Delle Top Casual Boots R Brown Retro PU YR Del Alto Donna Per Signore Scarpe Cuoio Cotone Piatto ¯xtα2Brown Per Chiusura Retro Casual Delle Boots Lato Cotone PU Di Boots Stivali Donna Stivali Top Alto Escursionismo YR Signore Martin R Treking Scarpe Del Piatto Lampo Cuoiosn<μ<¯x+tα2sn

Come calcolare il valore critico tα2 di una distribuzione t di Student

Analogamente a come fatto per la distribuzione normale, calcoliamo il valore critico tα2 corrispondente ad un grado di fiducia del 95%, ovvero 1α=0.95 e con ν=n1=81=Donna Per Delle PU Lampo Piatto Signore Di Cuoio Stivali Escursionismo Retro Scarpe Chiusura Cotone YR Del Boots Brown Top Martin Stivali R Casual Alto Treking Lato Boots 7 gradi di libertà. Si ha che α=0.05 e tα2,n1=t0.025,7

Guardando le tavole della distribuzione t di Student (clicca Slingbacks Toe Peep Donna Sandali TAOFFEN Dolce White Estate Scarpe nO4EFxXwW), vediamo che t0.025,7=2.365

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