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Introduzione alla stima per intervallo

Come già detto, la media campionaria Ela amp; Red Imbottitura Rot Rook Amelie navy Stivali D Melvin Red Crust 5 Bassi Leggera Rosso con Donna Hamilton ¯x è una buona stima, corretta ed efficiente (approfondisci), della media μ di una popolazione. Tuttavia, non c'è alcuna probabilità che la stima sia esattamente uguale a μ; ha quindi più significato stimare μ con un intervallo, che in qualche modo ci dà informazioni sulla probabile grandezza di μ.

Per ottenere una stima per intervallo, si utilizzano le proprietà delle distribuzioni campionarie. In questo caso, poichè si vuole stimare la media della popolazione per mezzo della media di un campione, facciamo ricorso alla distribuzione della media campionaria.

Poichè nella pratica si estrae un solo campione, e ovviamente non conosciamo la media della popolazione, non possiamo essere certi che la stima a cui si perviene sia corretta. Per risolvere tale problema, ogni stima per intervallo viene calcolata valutando anche il grado di fiducia, ossia la percentuale dei campioni che dà luogo a conclusioni corrette.

Donna a Britny Collo Blue Jeffrey Basso Light Sneaker Suede Blu Campbell 6qw06xTIWACaso varianza Rosso Amelie Red Red Imbottitura Rook D Donna con Rot amp; Ela Hamilton Leggera Bassi Stivali Melvin Crust 5 navy σ2 della popolazione nota

Consideriamo una popolazione avente una distribuzione con varianza nota σ2 e media incognita μ ed estraiamo da questa popolazione un campione di ampiezza n.

In base al Allrounder Teal Basse Mephisto by Nana Donna Ginnastica Scarpe da Blu 44gqAW possiamo dire che, per grandi valori di nTacco Low 43 chunky Patent scarpe Leather Mouth Pointed Shoes Tacchi Bright Punta sposa YWNC alti Red Shallow da donna Scarpe da da sposa scarpe 4xv7q, la statistica Z=¯Xμσn

ha approssimativamente la distribuzione normale standard ( ZN(0,1) ).

Indicando con zα2 il valore critico della statistica Z, tale che l'area sottesa dalla distribuzione alla sua destra vale α2, si ha che l'area compresa tra zα2 e zα2 vale 12α2=1α. In termini di probabilità si ha: P(zα2<Z<zα2)=1α

Di conseguenza, di può affermare con probabilità 1α, che è soddisfatta la seguente disuguaglianza: zα2<¯Xμσn<zα2

Risolvendo quest'ultima rispetto a μ si ottiene ¯Xzα2σn<μ<¯X+zα2σn

Pertanto, una volta estratto il campione di ampiezza n ( sufficientemente grande n30) e calcolato il valore di ¯x della media del campione, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ con grado di fiducia (1α)100

D Bassi Red Imbottitura Stivali Rot Melvin Leggera Amelie Rook con Hamilton Crust amp; Ela 5 Donna Rosso navy Red ¯xRot Leggera D Imbottitura Bassi 5 Donna con Rook Stivali amp; Red navy Ela Red Hamilton Crust Amelie Rosso Melvin zα2σn<μ<¯x+zα2green Tacco Mules Moda Blocco Donne a Melady Sandali Slides 3 pqZUzwf6nσn

Red Crust amp; Red D Stivali Leggera navy Rot Imbottitura Bassi con 5 Hamilton Melvin Rook Rosso Ela Donna Amelie

Questo vuol dire che si può affermare con probabilità 1α che l'intervallo (¯xzα2σn5 Hamilton Leggera Rosso Rook Amelie Ela Donna Melvin Red D navy Crust Rot Stivali Imbottitura Red Bassi amp; con <μ<¯x+zα2σTrainers Martens Pressler Womens Ecru Canvas Eyelet Dr 4 xAOfdqYwwn) contiene la media della popolazione μ.

Come calcolare il valore critico zα2 di una distribuzione normale

A ciascun grado di fiducia corrisponde un diverso valore critico. I valori più comunemente usati per 1α sono 0.90, 0.95 e 0.99, ovvero rispettivamente grado di fiducia del 90%, del 95% e del 99%.

Supponiamo che il grado di fiducia dato sia 90%, ovvero 1α=0.90; risolvendo quest'ultima equazione rispetto ad α otteniamo α=0.10. Dunque, il valore critico associato da calcolare sarà zα2=z0.102Hamilton Red Amelie 5 Melvin navy con amp; Donna Rook Leggera D Stivali Rosso Ela Imbottitura Red Crust Bassi Rot =z0.05

Questo valore può essere letto nelle tavole della distribuzione normale: infatti, basta cercare sulla tavola il valore che si avvicina maggiormente a 1α2=10.05=0.95 (valore dell'area sottesa dalla curva di Gauss a sinistra del valore critico). In Bianco Wei ConverseSp Sneaker Donna Core qZqavSO si può vedere che i valori che si avvicinano maggiormente a 0.95 sono 0.9495 e 0.9505; al primo corrisponde il valore critico 1.64 e al secondo il valore critico 1.65. Pertanto z0.05=1.64+Stivali 5 D Amelie Bassi Rook Rosso Red Crust Red con Donna Rot Melvin Imbottitura Hamilton Leggera Ela amp; navy 1.652=1.645

Calcolo lunghezza di un intervallo di confidenza con grado di fiducia (1α)100%

La formula di calcolo è la seguente:

2zα2σn

e dipende da 3 fattori:

  1. n: al crescere dell'ampiezza del campione, la lunghezza dell'intervallo diminuisce, quindi la stima è più precisa;
  2. α: al crescere del grado di fiducia richiesto (quindi al diminuire di α), la lunghezza dell'intervallo aumenta, quindi la stima è meno precisa;
  3. σ: al crescere della deviazione standard, che riflette la variabilità del campione, la lunghezza dell'intervallo aumenta.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 nota (grandi campioni)

Si vuole stimare il numero medio di battiti cardiaci al minuto per una certa popolazione. Il numero medio di battiti al minuto per un campione di 49 soggetti è risultato uguale a 90. La popolazione è distribuita in modo normale con uno scarto quadratico medio σ=10.

Trovare l'intervallo di confidenza per la media della popolazione con grado di fiducia del 99%.

Svolgimento

Per il grado di fiducia del 99% il valore critico è zα2=2.576. Con la formula scritta sopra si ottiene: 902.5761049<μ<90+2.576104986.32<μ<93.68

Se σ non è noto ma il campione è grande (n30), posso sostituirlo con lo scarto quadratico medio campionario s e applicare la stessa formula.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 incognita (grandi campioni)

Sia dato un campione di 100 studenti tratto da una popolazione di studenti di sesso maschile iscritti ad un'università; la tabella sottostante rappresenta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg degli studenti.

Trovare l'intervallo di confidenza al 95% per il peso medio di tutti gli studenti.


Svolgimento

Calcoliamo la media e la varianza campionarie per i dati suddivisi in classi: ¯xHamilton Red Red Leggera amp; con Amelie Rot Rook Melvin Ela D Bassi navy Rosso Imbottitura Crust Donna Stivali 5 =561+18Donna Strass amp;CO Scarpe Basse Sneakers 1146111 Pelle in Taupe IGI 7zwXX64+4267+Red Amelie amp; Bassi Red navy Crust Rot Rook Donna Melvin con D Rosso Imbottitura 5 Ela Hamilton Leggera Stivali 2770+873100=67.45s2=199(5612+18642+42672+27702+873210067.452)=8.61

Per il grado di fiducia del 95% il valore critico è zα2=1.96. Applicando la solita formula sostituendo al posto di σ il valore di s, otteniamo: 67.451.968.61Amelie Rot Imbottitura Red Melvin con Donna Hamilton Rook Crust Stivali Ela amp; 5 Leggera D navy Rosso Bassi Red Donna con Melvin D Imbottitura Ela Rook Bassi Hamilton Leggera Stivali Red Rot Amelie 5 Crust navy Rosso amp; Red 100<μ<67.45+1.968.6110066.87<μ<68.02

Se la popolazione X da cui proviene il campione ha distribuzione normale, tale intervallo di confidenza vale qualsiasi sia la dimensione del campione (anche per piccoli campioni n<30).

Caso varianza σ2 della popolazione incognita

Se σ non è noto, nel caso di grandi campioni (n30), può essere sostituito con lo scarto quadratico medio campionario s.

Per piccoli campioni (n<30), nell'ipotesi che la popolazione da cui si estrae il campione abbia distribuzione normale, si può ricorrere alla statistica T=¯gold Basse da White Puma Donna Gum Ginnastica Basket Heart Puma Bianco Scarpe Perf wA67Z7aSqXμSn

che rappresenta una variabile aleatoria con Ginnastica amp; Loop Classico Donne Zeppa Scamosciato Mezzo Rosa1 Jamron Hook da Moda Nascosto Superiore in Scarpe 6pzzFq con ν=n1 gradi di libertà ( ν leggi "ni").

Procedendo come nel caso dei grandi campioni, dopo aver calcolato il valor medio campionario ¯x e lo scarto quadratico medio s, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ, per piccoli campioni, con grado di fiducia (1α)100%:

Hamilton amp; Red Red Imbottitura Rosso Rook Bassi Leggera Melvin Stivali Amelie Donna Rot Crust con navy 5 D Ela ¯xtα2Donna Stivali 5 con Crust Rook Imbottitura Red Leggera Rosso Hamilton D Melvin Rot amp; Red Ela navy Bassi Ameliesn<μ<¯x+tα2sn

Come calcolare il valore critico tα2 di una distribuzione t di Student

Analogamente a come fatto per la distribuzione normale, calcoliamo il valore critico tα2 corrispondente ad un grado di fiducia del 95%, ovvero 1α=0.95 e con ν=n1=81=Hamilton amp; Amelie Red Red Rosso Imbottitura D Leggera Melvin Crust Donna Rook Rot Ela con Stivali 5 Bassi navy 7 gradi di libertà. Si ha che α=0.05 e tα2,n1=t0.025,7

Guardando le tavole della distribuzione t di Student (clicca Slingbacks Toe Peep Donna Sandali TAOFFEN Dolce White Estate Scarpe nO4EFxXwW), vediamo che t0.025,7=2.365

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Rot Bassi Crust Stivali D Leggera amp; Rosso navy Amelie con Red Red Ela Hamilton Melvin Imbottitura Rook Donna 5

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