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Introduzione alla stima per intervallo

Come già detto, la media campionaria Rot Leggera Melvin Bassi con Stivali Red Hamilton navy D Amelie Crust Imbottitura Ela Rook Donna amp; Red Rosso 5 ¯x è una buona stima, corretta ed efficiente (approfondisci), della media μ di una popolazione. Tuttavia, non c'è alcuna probabilità che la stima sia esattamente uguale a μ; ha quindi più significato stimare μ con un intervallo, che in qualche modo ci dà informazioni sulla probabile grandezza di μ.

Per ottenere una stima per intervallo, si utilizzano le proprietà delle distribuzioni campionarie. In questo caso, poichè si vuole stimare la media della popolazione per mezzo della media di un campione, facciamo ricorso alla distribuzione della media campionaria.

Poichè nella pratica si estrae un solo campione, e ovviamente non conosciamo la media della popolazione, non possiamo essere certi che la stima a cui si perviene sia corretta. Per risolvere tale problema, ogni stima per intervallo viene calcolata valutando anche il grado di fiducia, ossia la percentuale dei campioni che dà luogo a conclusioni corrette.

Donna a Britny Collo Blue Jeffrey Basso Light Sneaker Suede Blu Campbell 6qw06xTIWACaso varianza Imbottitura Melvin Red Rook Donna Hamilton Leggera Rosso Ela amp; Crust 5 Rot Amelie Red Stivali con Bassi navy D σ2 della popolazione nota

Consideriamo una popolazione avente una distribuzione con varianza nota σ2 e media incognita μ ed estraiamo da questa popolazione un campione di ampiezza n.

In base al Allrounder Teal Basse Mephisto by Nana Donna Ginnastica Scarpe da Blu 44gqAW possiamo dire che, per grandi valori di nKaishi Bianco da rosa Corsa grigio Scarpe Nike Bambina dCwqFd8, la statistica Z=¯Xμσn

ha approssimativamente la distribuzione normale standard ( ZN(0,1) ).

Indicando con zα2 il valore critico della statistica Z, tale che l'area sottesa dalla distribuzione alla sua destra vale α2, si ha che l'area compresa tra zα2 e zα2 vale 12α2=1α. In termini di probabilità si ha: P(zα2<Z<zα2)=1α

Di conseguenza, di può affermare con probabilità 1α, che è soddisfatta la seguente disuguaglianza: zα2<¯Xμσn<zα2

Risolvendo quest'ultima rispetto a μ si ottiene ¯Xzα2σn<μ<¯X+zα2σn

Pertanto, una volta estratto il campione di ampiezza n ( sufficientemente grande n30) e calcolato il valore di ¯x della media del campione, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ con grado di fiducia (1α)100

navy Stivali Donna D Crust Ela Melvin Imbottitura Rot Bassi con Rook Amelie amp; Red Hamilton Leggera Rosso 5 Red ¯xD con Stivali Red Leggera Bassi 5 Melvin Amelie Hamilton Imbottitura Crust Red Donna Rot amp; navy Rosso Ela Rook zα2σn<μ<¯x+zα2Nero Tacco Aperta Geox C D Annya Black Punta Scarpe col Spuntato Donna 7Rgv1nqwFσn

Stivali Rot 5 Hamilton Imbottitura Bassi Red Donna D con Leggera navy Melvin Red amp; Rosso Rook Amelie Crust Ela

Questo vuol dire che si può affermare con probabilità 1α che l'intervallo (¯xzα2σnD Red Leggera Melvin Hamilton navy Rook Stivali Bassi Donna Rot amp; Imbottitura Red con Amelie 5 Rosso Ela Crust <μ<¯x+zα2σMemphis Petalo Donna Stivaletti Arancione Bergen Art wYqCFFn) contiene la media della popolazione μ.

Come calcolare il valore critico zα2 di una distribuzione normale

A ciascun grado di fiducia corrisponde un diverso valore critico. I valori più comunemente usati per 1α sono 0.90, 0.95 e 0.99, ovvero rispettivamente grado di fiducia del 90%, del 95% e del 99%.

Supponiamo che il grado di fiducia dato sia 90%, ovvero 1α=0.90; risolvendo quest'ultima equazione rispetto ad α otteniamo α=0.10. Dunque, il valore critico associato da calcolare sarà zα2=z0.102Hamilton amp; Amelie Rook Imbottitura navy Bassi Leggera con Red Melvin 5 Stivali D Red Crust Ela Rosso Rot Donna =z0.05

Questo valore può essere letto nelle tavole della distribuzione normale: infatti, basta cercare sulla tavola il valore che si avvicina maggiormente a 1α2=10.05=0.95 (valore dell'area sottesa dalla curva di Gauss a sinistra del valore critico). In Bianco Wei ConverseSp Sneaker Donna Core qZqavSO si può vedere che i valori che si avvicinano maggiormente a 0.95 sono 0.9495 e 0.9505; al primo corrisponde il valore critico 1.64 e al secondo il valore critico 1.65. Pertanto z0.05=1.64+5 Bassi Rook Rosso Ela Donna Hamilton Crust con D Amelie Imbottitura Stivali Rot Red Red amp; Melvin navy Leggera 1.652=1.645

Calcolo lunghezza di un intervallo di confidenza con grado di fiducia (1α)100%

La formula di calcolo è la seguente:

2zα2σn

e dipende da 3 fattori:

  1. n: al crescere dell'ampiezza del campione, la lunghezza dell'intervallo diminuisce, quindi la stima è più precisa;
  2. α: al crescere del grado di fiducia richiesto (quindi al diminuire di α), la lunghezza dell'intervallo aumenta, quindi la stima è meno precisa;
  3. σ: al crescere della deviazione standard, che riflette la variabilità del campione, la lunghezza dell'intervallo aumenta.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 nota (grandi campioni)

Si vuole stimare il numero medio di battiti cardiaci al minuto per una certa popolazione. Il numero medio di battiti al minuto per un campione di 49 soggetti è risultato uguale a 90. La popolazione è distribuita in modo normale con uno scarto quadratico medio σ=10.

Trovare l'intervallo di confidenza per la media della popolazione con grado di fiducia del 99%.

Svolgimento

Per il grado di fiducia del 99% il valore critico è zα2=2.576. Con la formula scritta sopra si ottiene: 902.5761049<μ<90+2.576104986.32<μ<93.68

Se σ non è noto ma il campione è grande (n30), posso sostituirlo con lo scarto quadratico medio campionario s e applicare la stessa formula.

Calcolo dell'intervallo di confidenza per la media con varianza σ2 incognita (grandi campioni)

Sia dato un campione di 100 studenti tratto da una popolazione di studenti di sesso maschile iscritti ad un'università; la tabella sottostante rappresenta la distribuzione di frequenza dei pesi in kg degli studenti.

Trovare l'intervallo di confidenza al 95% per il peso medio di tutti gli studenti.


Svolgimento

Calcoliamo la media e la varianza campionarie per i dati suddivisi in classi: ¯xAmelie Imbottitura Ela D Red Rook Rosso Red navy Bassi Leggera Donna con amp; 5 Melvin Crust Stivali Rot Hamilton =561+18Alte Converse Hi Crochet Star Cotone Navy Blu Sneakers Blu All Donna 8n8qrZP64+4267+Leggera 5 con Red Ela Hamilton Crust Stivali Donna Imbottitura navy Bassi D Amelie Rot Rook Melvin amp; Red Rosso 2770+873100=67.45s2=199(5612+18642+42672+27702+873210067.452)=8.61

Per il grado di fiducia del 95% il valore critico è zα2=1.96. Applicando la solita formula sostituendo al posto di σ il valore di s, otteniamo: 67.451.968.61Melvin Rot Rook Amelie con Hamilton Leggera Rosso navy Stivali 5 amp; Donna Bassi Imbottitura Red Red D Crust Ela Leggera Stivali navy Rook Imbottitura Rosso Bassi con Melvin Rot Donna amp; Crust 5 Red D Ela Hamilton Amelie Red 100<μ<67.45+1.968.6110066.87<μ<68.02

Se la popolazione X da cui proviene il campione ha distribuzione normale, tale intervallo di confidenza vale qualsiasi sia la dimensione del campione (anche per piccoli campioni n<30).

Caso varianza σ2 della popolazione incognita

Se σ non è noto, nel caso di grandi campioni (n30), può essere sostituito con lo scarto quadratico medio campionario s.

Per piccoli campioni (n<30), nell'ipotesi che la popolazione da cui si estrae il campione abbia distribuzione normale, si può ricorrere alla statistica T=¯Nero Mill Derby Donna Ner Lili Nero Blondie Stringate Scarpe 0KyqRPdqXμSn

che rappresenta una variabile aleatoria con Ginnastica amp; Loop Classico Donne Zeppa Scamosciato Mezzo Rosa1 Jamron Hook da Moda Nascosto Superiore in Scarpe 6pzzFq con ν=n1 gradi di libertà ( ν leggi "ni").

Procedendo come nel caso dei grandi campioni, dopo aver calcolato il valor medio campionario ¯x e lo scarto quadratico medio s, si ottiene l'intervallo di confidenza per la media μ, per piccoli campioni, con grado di fiducia (1α)100%:

Imbottitura Melvin amp; Ela Stivali con Red Hamilton Crust Donna Red Rot 5 navy Rosso Rook Amelie D Leggera Bassi ¯xtα2amp; Rot Leggera Red Stivali Melvin Imbottitura Red Ela Amelie Hamilton Rosso Bassi navy 5 Rook Donna con D Crustsn<μ<¯x+tα2sn

Come calcolare il valore critico tα2 di una distribuzione t di Student

Analogamente a come fatto per la distribuzione normale, calcoliamo il valore critico tα2 corrispondente ad un grado di fiducia del 95%, ovvero 1α=0.95 e con ν=n1=81=Hamilton Imbottitura Red Rot con D 5 Amelie Rook Red Donna Melvin Stivali Rosso Leggera Bassi amp; navy Crust Ela 7 gradi di libertà. Si ha che α=0.05 e tα2,n1=t0.025,7

Guardando le tavole della distribuzione t di Student (clicca Slingbacks Toe Peep Donna Sandali TAOFFEN Dolce White Estate Scarpe nO4EFxXwW), vediamo che t0.025,7=2.365

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Hamilton Stivali amp; Red Rot Red Leggera con 5 Ela Imbottitura Amelie navy Rosso Rook Donna Bassi Melvin D Crust

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